第八章  拉普拉斯变换
基本要求：
1. 掌握拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；
2. 利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换；
3. 利用拉普拉斯正反变换求解线性动态电路的常微分方程。

引言：所谓复频域分析，是指线性动态电路的一种分析方法，这种方法不是在时间域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内求解。所使用的教学工具就是拉普拉斯变换.拉普拉斯变换是一种积分变换，是解线性常微分方程，研究线性系统的一个重要工具。下面回顾“变换”的概念。

1、对数与指数的变换
为求乘积ab
可先取对数       ln(ab)= lna+lnb  
    再取指数运算      
2、相量与正弦量的变换
   为了计算正弦稳态响应，可将激励源变为相量，然后在频率域里求相量（即相量法），然后再变回时域得到正弦时间函数响应。
     
  其中    此复数的模 就是正弦量u(t)的振幅值，幅角就是u(t)的初相角。这种对应关系就是一种变换。

§8-1  拉普拉斯变换
讲述要点：1. 拉普拉斯变换的定义
2.常见函数的拉普拉斯变换

一．拉普拉斯变换
定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数
 
其中，S=σ+jω 是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；
右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为
 
其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

二．拉普拉斯反变换
 
这是复变函数的积分
拉氏变换和拉氏反变换可简记如下
F(S)=L[f(t)]   ；   f(t)=L-1[F(s)]

三．拉氏变换的收敛域： 
例8-1-1 单边指数函数 （其中a为复常数）
 
当   ＞0时，结果为有限值即
 
具体的说,即Re[s]- Re[a]=σ- Re[a] > 0  有σ> Re[a]这时eatε(t)的拉氏变换存在。我们称σ> Re[a]的s=σ+jω的范围为该函数的拉氏变换的收敛域，一般而言，对一个具体的单边函数f(t)，并非所有的σ值都能使f(t)eσt绝对可积，即把能使用f(t)eσt绝对可积的s的范围称为单边函数f(t)的拉氏变换的收敛域。
收敛域可以在s平面上表示出来，如下图。








如前例变换的收敛域为:σ> Re[a]=σO

例8-1-2， 单位冲激函数δ(t)的象函数
 
收敛域为整个s平面

例8-1-3  单位阶跃函数ε（t）的象函数
 
收敛域σ>0   , 右半s平面

§8-2  拉普拉斯变换的基本性质
讲述要点：微分定理，积分定理， 时域卷积定理

假定以下需进行拉氏变换的函数，其拉氏变换都存在
1、线性组合定理
L[af1(t)±bf2(t)]=aL[f1(t)]±b[f2(t)]
若干个原函数的线性组合的象函数，等于各个原函数的象函数的线性组合。
例8-2-1   求sinωtε(t)的象函数



 
 
 
 
同理可得L[cosω(t)]=      
此二函数的拉氏变换收敛域为 

2、微分定理   设 L[f(t)]=F(s)，则有
 
证明： 
     
其中    这是可以进行拉氏变换的条件，即f(t)乘上 必衰减为零(t→∞)才能绝对可积。于是有
 
=SL[f(t)-f(0-)        得证！
f(t)的二阶导数的象函数，可重复利用微分定理
 
=S {sL[f(t)]-f(0-)}- f/(0-)
=S2L[f(t)]-Sf(0-)-f/(0-)
f(t)的n阶导数的象函数应为
 
记入f(0-)到f(n-1)(0-)共n个原始值

例8-2-2  某动态电路的输入—输出方程为
 
原始值为r(0-)及r/(0-) ，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。
解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有
E(S)=L[e(t)] , R(S)=L[r(t)]
两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得
[S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s)
整理合并得
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
 
反变换得  r(t)=L-1[R(s)]

3、积分定理   
设 L[f(t)]=F(s)，则有
 
 
        
   积分上限也应为0-
  
         
例8-2-3  根据单位阶跃函数的象函数确定 的原函数
解：
·ε（t）的象函数为  ，
·ε（t）的积分为单边倾斜函数，即   
而       
同理     
进而有   
              ；    
反过来有   

4、时域位移定理 
 设 L[f(t)ε(t)]=F(s)，则有 
        L[f(t-t0)ε(t-t0)]= F(s)
此定理表明f(t)推迟t0出现则象函数应乘以一个时延因子 

5、时域卷积定理
设 L[f1(t)]=F1(s)      L[f2(t)]=F2(s)
则有    L[f1(t)* f2(t)]= F1(s) F2(s)

例8-2-5  图2-2-5所示电路中，电压源为  ，试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)
解：令激励电压为单位冲激电压δ (t)，则初值为
 
冲激响应电流为
 h(t)=  
零状态响应电流为卷积积分
  i(t)=u(t)* h(t)=u(t)*      图2－2－5
进行拉普拉斯变换  L[i(t)]=U(s)H(s)=U(s)×L[h(t)]
 
 
故   
查表8-2-1第13项，得   

* 终值定理：设L[f(t)]=F(s)，则有
 
例：已知L[f1(t)]=F1(s)  ，求f1(∞)；L[f2(t)]=F2(s) ，求f2(∞)
解：

http://jpk.buaa.edu.cn/2007jpk/bjsjpk/xhfxycl/Related_References/lapl/laptran.ppt

拉氏变换的收敛域： 
例8-1-1 单边指数函数 （其中a为复常数）
 
当   ＞0时，结果为有限值即
 
具体的说,即Re[s]- Re[a]=σ- Re[a] > 0  有σ> Re[a]这时eatε(t)的拉氏变换存在。我们称σ> Re[a]的s=σ+jω的范围为该函数的拉氏变换的收敛域，一般而言，对一个具体的单边函数f(t)，并非所有的σ值都能使f(t)eσt绝对可积，即把能使用f(t)eσt绝对可积的s的范围称为单边函数f(t)的拉氏变换的收敛域。

谢谢各位的答案