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理论上算符可以有无数个，比如可以定义某算符对某函数求一阶微分，还可以定义一个算符对某函数求三阶微分……  算符只是个数学概念
但在量子力学上，常用的、有物理意义的有  与能量有关的哈密顿算符（薛定谔方程中的那个）、 位置算符 、动量算符 、角动量算符 、自选角动量算符。任意两个算符直乘后又可以得到新的算符（当然就有新的物理意义）。

算符的简单定义？这个我也说不清楚。不过量子力学中，算符不是矩阵（比如与自旋有关的泡利矩阵），就是微分算子（一般在位置表象上），你明白这两个的定义就行了。你要是问算符的物理意义，恐怕在网上你是得不到答案了，自己悟吧。

应用吗？算符作为一种数学工具，能很好的描述量子物理中的很多问题。他就是个数学工具，就像微积分，欧式几何一样。但学物理，关键在于理解这些数学运算中的物理意义（哈密顿算符与能量有关，求能量是会用到它），还像前面说的，还得自己悟。

算符：使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符。操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等。

一种比较抽象的用于量子计算的数学符号